Задание 3 профильного ЕГЭ: призма - объем и площадь поверхности

В задании 3 профильного ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на вычисление объема и площади поверхности призм. Эти задачи требуют уверенного знания формул стереометрии и умения работать с пространственными фигурами. В этой статье мы разберем ключевые аспекты решения таких задач.

Основные понятия и формулы

Призма - это многогранник, две грани которого (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) - параллелограммами.

Для успешного решения задач на призмы в ЕГЭ необходимо знать следующие формулы:

• Объем призмы: \( V = S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( h \) - высота призмы
• Площадь боковой поверхности прямой призмы: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \), где \( P_{осн} \) - периметр основания
• Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} \)

Виды призм в заданиях ЕГЭ

В экзаменационных заданиях чаще всего встречаются:

• Прямая треугольная призма
• Правильная треугольная призма (основание - правильный треугольник)
• Четырехугольная призма (параллелепипед)
• Правильная четырехугольная призма (прямоугольный параллелепипед)
• Шестиугольная призма

Математические факты и формулы для решения задач на призмы

Для успешного решения задач на вычисление объема многогранников в призмах необходимо знать:

• Формулу объема призмы: \( V = S_{осн} \cdot h \)
• Свойства правильной треугольной призмы: основания - правильные треугольники, боковые ребра перпендикулярны основаниям
• Формулу площади правильного треугольника: \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), где a - сторона треугольника
• Принцип разбиения сложных многогранников на более простые фигуры (пирамиды, призмы)
• Свойства симметрии правильных фигур
• Теорему о том, что объем многогранника, полученного отсечением от призмы, можно вычислить как разность объемов или как сумму объемов более простых фигур

Разбор задач на вычисление объема многогранника в призме

Задача 1

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, R, M, B₁ правильной треугольной призмы BRMB₁R₁M₁, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 69.

Решение:

Рассмотрим правильную треугольную призму BRMB₁R₁M₁. Обозначим:

• Площадь основания: \( S_{осн} = 5 \)
• Высота призмы (боковое ребро): \( h = 69 \)

Многогранник с вершинами B, R, M, B₁ представляет собой треугольную пирамиду (тетраэдр). Его основание - треугольник BRM, который является одним из оснований призмы. Высотой этой пирамиды будет ребро BB₁, равное высоте призмы.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \)

Подставляем известные значения: \( V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 69 = 115 \)

Ответ: 115

Задача 2

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, S, T, B₁, T₁ правильной треугольной призмы BSTB₁S₁T₁, площадь основания которой равна 11, а боковое ребро равно 78.

Решение:

Имеем правильную треугольную призму BSTB₁S₁T₁ с параметрами:

• Площадь основания: \( S_{осн} = 11 \)
• Высота призмы: \( h = 78 \)

Многогранник с вершинами B, S, T, B₁, T₁ можно разбить на две пирамиды:

1. Пирамида BSTB₁ с основанием BST и вершиной B₁
2. Пирамида BST₁T с основанием BST и вершиной T₁

Основание обеих пирамид - треугольник BST, который является одним из оснований призмы, поэтому его площадь равна \( S_{осн} = 11 \).

Высота каждой пирамиды равна высоте призмы \( h = 78 \).

Объем одной пирамиды: \( V_1 = \frac{1}{3} \cdot 11 \cdot 78 = 286 \)

Общий объем многогранника: \( V = 2 \cdot V_1 = 2 \cdot 286 = 572 \)

Ответ: 572

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 3 профильного ЕГЭ по теме "Призмы" рекомендуется:

• Повторить основные формулы объемов и площадей поверхностей призм
• Отработать навык визуализации пространственных фигур
• Научить учащихся разбивать сложные многогранники на простые фигуры
• Обратить внимание на свойства правильных призм

Для организации эффективной подготовки используйте Конструктор индивидуальных заданий - сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме "Призмы".

Дополнительные материалы

На странице доступны для скачивания задания для самостоятельной работы по теме "Призмы в заданиях ЕГЭ". Эти задания аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ, а наиболее характерные и показательные примеры.

Успешная подготовка к заданию 3 профильного ЕГЭ по математике требует систематической работы и понимания основных принципов стереометрии. Используйте представленные материалы для углубленного изучения темы "Призмы" и достижения высоких результатов на экзамене.