Задание 3 профильного ЕГЭ: шар и площадь поверхности

В задании 3 профильного ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на вычисление параметров шара — одной из фундаментальных фигур стереометрии. Эта тема требует четкого понимания геометрических свойств шара и уверенного владения соответствующими формулами.

Основные понятия и формулы

Шар представляет собой геометрическое тело, образованное вращением круга вокруг своего диаметра. Все точки поверхности шара находятся на одинаковом расстоянии от его центра. Для успешного решения задач необходимо знать следующие формулы:

Площадь поверхности шара: \( S = 4\pi R^2 \)
Объем шара: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \)
Площадь большого круга: \( S_{круга} = \pi R^2 \)

Большим кругом называется сечение шара плоскостью, проходящей через его центр. Важно понимать, что площадь поверхности шара ровно в 4 раза больше площади его большого круга.

Методические материалы для учителей

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 3 профильного ЕГЭ по математике, связанному с шаром, рекомендуем использовать следующие материалы:

Подробные конспекты уроков по теме "Шар и сфера"
Самостоятельные работы с задачами различного уровня сложности
Контрольные работы, включающие задачи на вычисление площади поверхности и объема шара
PDF-файлы с теоретическим материалом и примерами решения

Особое внимание следует уделить связи между различными параметрами шара. Например, зная площадь большого круга, можно легко найти площадь всей поверхности шара, умножив ее на 4.

Конструктор индивидуальных заданий

Для отработки навыков решения задач на шар предлагаем воспользоваться нашим Конструктором индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика, обеспечивая персонализированный подход к обучению. Задания, генерируемые конструктором, аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Необходимые математические факты и формулы

Для решения задач на шар в задании 3 профильного ЕГЭ по математике учащимся необходимо знать:

Формулу площади поверхности шара: \( S = 4\pi R^2 \)
Свойство сложения площадей поверхностей шаров
Связь между площадью большого круга и площадью поверхности шара
Умение работать с квадратными корнями при нахождении радиуса

Разбор задач на площадь поверхности шара

Задача 1

Радиусы двух шаров равны 21 и 72. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

Решение:

Площадь поверхности первого шара: \( S_1 = 4\pi \cdot 21^2 = 4\pi \cdot 441 = 1764\pi \)

Площадь поверхности второго шара: \( S_2 = 4\pi \cdot 72^2 = 4\pi \cdot 5184 = 20736\pi \)

Сумма площадей: \( S = S_1 + S_2 = 1764\pi + 20736\pi = 22500\pi \)

Площадь поверхности искомого шара: \( S = 4\pi R^2 = 22500\pi \)

Отсюда: \( 4\pi R^2 = 22500\pi \)

Сокращаем π: \( 4R^2 = 22500 \)

Делим на 4: \( R^2 = 5625 \)

Извлекаем корень: \( R = 75 \) (радиус не может быть отрицательным)

Ответ: 75

Задача 2

Площадь большого круга шара равна 73. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:

Площадь большого круга: \( S_{круга} = \pi R^2 = 73 \)

Площадь поверхности шара: \( S = 4\pi R^2 = 4 \cdot 73 = 292 \)

Ответ: 292