Противоположные события в задании 5 профильного ЕГЭ по математике

В задании 5 профильного ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на тему противоположных событий в теории вероятностей. Эта тема является фундаментальной и требует глубокого понимания для успешного решения экзаменационных задач.

Что такое противоположные события?

Противоположными называются два события, которые образуют полную группу и при этом несовместны. Если событие A означает наступление некоторого результата, то противоположное ему событие Ā (читается как «не A») означает ненаступление этого результата.

Формальное определение: события A и Ā называются противоположными, если они удовлетворяют двум условиям:

• Они несовместны: \( A ∩ Ā = ∅ \)
• Они образуют полную группу: \( A ∪ Ā = Ω \), где Ω - пространство всех элементарных исходов

Основные свойства противоположных событий

Для противоположных событий выполняются следующие важные свойства:

• Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: \( P(A) + P(Ā) = 1 \)
• Вероятность противоположного события вычисляется по формуле: \( P(Ā) = 1 - P(A) \)
• Противоположное к противоположному событию есть исходное событие: \( \bar{Ā} = A \)

Формулы и математические факты для решения задач

Для успешного решения задач на противоположные события в ЕГЭ необходимо знать следующие математические факты и формулы:

• Формула вероятности противоположного события: \( P(Ā) = 1 - P(A) \)
• Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1
• Противоположные события всегда несовместны
• Противоположные события образуют полную группу событий
• Если A и B - противоположные события, то \( A ∩ B = ∅ \) и \( A ∪ B = Ω \)

Примеры решения задач

Рассмотрим две типичные задачи на противоположные события, аналогичные тем, которые встречаются в ЕГЭ.

Задача 1

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,7 °С, равна 0,873. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,7 °С или выше.

Решение:

Обозначим событие A = "температура тела ниже 36,7 °С". Тогда противоположное событие Ā = "температура тела 36,7 °С или выше".

По условию \( P(A) = 0,873 \). Используя формулу вероятности противоположного события, получаем:

\( P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 0,873 = 0,127 \)

Ответ: 0,127

Задача 2

При изготовлении подшипников диаметром 73 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,945. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 72,99 мм или больше чем 73,01 мм.

Решение:

Обозначим событие A = "диаметр подшипника отличается от заданного не больше, чем на 0,01 мм". Тогда противоположное событие Ā = "диаметр подшипника меньше чем 72,99 мм или больше чем 73,01 мм".

По условию \( P(A) = 0,945 \). Используя формулу вероятности противоположного события, получаем:

\( P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 0,945 = 0,055 \)

Ответ: 0,055

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 5 ЕГЭ по теме "Противоположные события" рекомендуется:

• Разбирать с учениками различные формулировки задач, где требуется найти вероятность противоположного события
• Обращать внимание на правильное определение противоположных событий в контексте задачи
• Тренировать применение формулы \( P(Ā) = 1 - P(A) \) в различных ситуациях
• Объяснять разницу между противоположными и несовместными событиями

Для отработки навыков решения задач на противоположные события вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика.

Самостоятельные и контрольные работы

На странице доступны для скачивания pdf-файлы с заданиями для самостоятельных и контрольных работ по теме "Противоположные события". Задания в этих работах аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), однако содержат не все возможные варианты задач.

Использование разнообразных заданий помогает учащимся лучше усвоить тему и подготовиться к успешному выполнению задания 5 профильного ЕГЭ по математике.