Задание 5 профильного ЕГЭ: Сумма и вероятность событий в теории вероятностей

Теория вероятностей представляет собой один из наиболее важных и практико-ориентированных разделов школьного курса математики. В задании 5 профильного ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на вычисление вероятности суммы событий — тема, которая требует четкого понимания основных понятий и теорем. В этой статье мы систематизируем знания о сумме событий и их вероятностях, что поможет учителям математики качественно подготовить учащихся к экзамену.

Основные понятия: что такое сумма событий

В теории вероятностей суммой событий A и B (обозначается A∪B) называется событие, которое происходит тогда, когда наступает хотя бы одно из событий A или B. Это понятие является фундаментальным для решения целого класса экзаменационных задач.

Различают два принципиально разных случая:

Несовместные события — события, которые не могут произойти одновременно в одном испытании. Например, при бросании игрального кубика события "выпало 1 очко" и "выпало 2 очка" являются несовместными.
Совместные события — события, которые могут произойти одновременно. Например, при извлечении карты из колоды события "вытащена дама" и "вытащена пиковая карта" являются совместными.

Теоремы сложения вероятностей

Для несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей:

\( P(A∪B) = P(A) + P(B) \)

Эта теорема обобщается на любое количество попарно несовместных событий: \( P(A_1 ∪ A_2 ∪ ... ∪ A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n) \).

Для совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле:

\( P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) \)

где \( P(A∩B) \) — вероятность произведения событий (их совместного наступления).

Противоположные события и их свойства

События A и Ā называются противоположными, если они несовместны и одно из них обязательно происходит. Для противоположных событий выполняется важное равенство:

\( P(A) + P(Ā) = 1 \)

Это свойство часто используется при решении экзаменационных задач, когда вычисление вероятности противоположного события оказывается проще.

Полная группа событий

События \( A_1, A_2, ..., A_n \) образуют полную группу, если в результате испытания обязательно происходит одно и только одно из них. Для полной группы событий сумма их вероятностей равна 1:

\( P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n) = 1 \)

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на вероятность суммы событий в задании 5 профильного ЕГЭ необходимо знать и уметь применять следующие математические факты и формулы:

Определение суммы событий: A∪B — событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A или B.
Формула сложения вероятностей для несовместных событий: \( P(A∪B) = P(A) + P(B) \).
Формула сложения вероятностей для совместных событий: \( P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) \).
Свойство вероятностей противоположных событий: \( P(A) + P(Ā) = 1 \).
Свойство полной группы событий: сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.
Вероятность невозможного события равна 0, вероятность достоверного события равна 1.
Для любых событий A и B выполняется неравенство: \( P(A∪B) ≤ P(A) + P(B) \).
Если событие A влечет событие B (A⊂B), то P(A) ≤ P(B).

Разбор задач на вероятность суммы событий

Рассмотрим две типичные задачи, которые иллюстрируют применение теоремы сложения вероятностей.

Задача 1

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 13 пассажиров, равна 0,93. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,78. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 12.

Решение:

Обозначим события:

A = "число пассажиров меньше 10" (P(A) = 0,78)
B = "число пассажиров от 10 до 12" (искомое P(B) = ?)
C = "число пассажиров меньше 13" (P(C) = 0,93)

Заметим, что событие C является суммой несовместных событий A и B: C = A∪B. По теореме сложения вероятностей для несовместных событий:

\( P(C) = P(A) + P(B) \)

Отсюда:

\( P(B) = P(C) - P(A) = 0,93 - 0,78 = 0,15 \)

Ответ: 0,15

Задача 2

Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше 14 задач, равна 0,81. Вероятность того, что О. верно решит больше 13 задач, равна 0,99. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 14 задач.

Решение:

Обозначим события:

A = "учащийся решит ровно 14 задач" (искомое P(A) = ?)
B = "учащийся решит больше 14 задач" (P(B) = 0,81)
C = "учащийся решит больше 13 задач" (P(C) = 0,99)

Событие C является суммой несовместных событий A и B: C = A∪B. По теореме сложения вероятностей для несовместных событий:

\( P(C) = P(A) + P(B) \)

Отсюда:

\( P(A) = P(C) - P(B) = 0,99 - 0,81 = 0,18 \)

Ответ: 0,18

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 5 профильного ЕГЭ по теме "Вероятность суммы событий" рекомендуется:

Начинать с повторения основных понятий теории вероятностей: случайное событие, достоверное и невозможное события, противоположные события.
Подчеркивать различие между совместными и несовместными событиями, используя наглядные примеры.
Отрабатывать навык перевода текстовой формулировки задачи на язык теории вероятностей (правильного обозначения событий).
Уделять особое внимание анализу условия задачи для определения типа событий (совместные или несовместные).
Рассматривать различные стратегии решения: прямое применение теорем, переход к противоположным событиям, использование формул включений-исключений.

Для отработки навыков решения задач по данной теме вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий — сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме "Вероятность суммы событий".

Также на странице доступны задания для самостоятельной работы, которые аналогичны тем, что находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Успешное освоение темы "Вероятность суммы событий" требует понимания теоретических основ и достаточной практики в решении задач различного типа. Систематическая работа над этой темой позволит учащимся уверенно решать задание 5 профильного ЕГЭ по математике.