Задание 6 профильного ЕГЭ: логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения составляют важную часть задания 6 профильного ЕГЭ по математике. Эта тема требует от учащихся уверенного владения определениями, свойствами логарифмов и умения применять различные методы решения. В статье рассмотрим ключевые аспекты, которые помогут учителям организовать эффективную подготовку учащихся.

Основные понятия и свойства логарифмов

Для успешного решения логарифмических уравнений в рамках задания 6 профильного ЕГЭ учащиеся должны твердо знать определение логарифма: логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) (\( a > 0, a \neq 1 \)) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).

Записывается это как \( \log_a b = c \), что равносильно \( a^c = b \).

Ключевые свойства логарифмов, необходимые для решения уравнений:

\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
\( \log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c \)
\( \log_a b^c = c \cdot \log_a b \)
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \) (формула перехода к новому основанию)
\( a^{\log_a b} = b \) (основное логарифмическое тождество)
\( \log_a a = 1 \), \( \log_a 1 = 0 \)

Методы решения логарифмических уравнений

При подготовке к заданию 6 профильного ЕГЭ по логарифмическим уравнениям стоит обратить внимание учащихся на следующие методы решения:

1. Метод потенцирования

Применяется, когда уравнение имеет вид \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \). В этом случае можно перейти к уравнению \( f(x) = g(x) \), учитывая область допустимых значений: \( f(x) > 0 \), \( g(x) > 0 \), \( a > 0 \), \( a \neq 1 \).

2. Метод введения новой переменной

Эффективен при наличии повторяющихся логарифмических выражений. Позволяет свести сложное уравнение к более простому алгебраическому.

3. Метод логарифмирования

Применяется, когда переменная находится и в основании, и в показателе степени.

4. Использование свойств логарифмов

Позволяет преобразовать уравнение к виду, удобному для применения одного из вышеперечисленных методов.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Особое внимание при решении логарифмических уравнений в задании 6 профильного ЕГЭ следует уделять нахождению области допустимых значений. Для выражения \( \log_a f(x) \) должны выполняться условия:

\( a > 0 \), \( a \neq 1 \)
\( f(x) > 0 \)

Найденные корни обязательно нужно проверять на принадлежность ОДЗ. Корни, не удовлетворяющие этим условиям, являются посторонними и должны быть отброшены.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения логарифмических уравнений в задании 6 профильного ЕГЭ необходимы следующие математические факты и формулы:

Определение логарифма: \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \)
Свойства логарифмов (перечисленные выше)
Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \)
Условия существования логарифма: для \( \log_a f(x) \) должно выполняться \( a > 0, a \neq 1, f(x) > 0 \)
Свойства степеней: \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \), \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \), \( (a^m)^n = a^{mn} \)
Решение показательных уравнений вида \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x) \) при \( a > 0, a \neq 1 \)

Примеры решения задач

Рассмотрим конкретные примеры логарифмических уравнений, аналогичных тем, которые встречаются в задании 6 профильного ЕГЭ.

Задача 1

Найдите корень уравнения \( \log_2 (5x + 8) = 5 \).

Решение:

Воспользуемся определением логарифма. Уравнение \( \log_2 (5x + 8) = 5 \) равносильно \( 2^5 = 5x + 8 \).

Получаем: \( 32 = 5x + 8 \)

\( 5x = 32 - 8 \)

\( 5x = 24 \)

\( x = 4,8 \)

Проверим область допустимых значений: \( 5x + 8 = 5 \cdot 4,8 + 8 = 24 + 8 = 32 > 0 \) - условие выполняется.

Ответ: 4,8

Задача 2

Найдите корень уравнения \( \log_{11} (12x - 18) = \log_{11} 9 \).

Решение:

Применим метод потенцирования. Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны, можно приравнять их аргументы:

\( 12x - 18 = 9 \)

\( 12x = 9 + 18 \)

\( 12x = 27 \)

\( x = 2,25 \)

Проверим область допустимых значений: \( 12x - 18 = 12 \cdot 2,25 - 18 = 27 - 18 = 9 > 0 \) - условие выполняется.

Ответ: 2,25