Задание 7 профильного ЕГЭ: логарифмы

Логарифмические выражения составляют значительную часть заданий седьмой позиции в профильном ЕГЭ по математике. Эта тема традиционно вызывает затруднения у учащихся, что делает особенно важной качественную подготовку под руководством опытного педагога.

Основные понятия и свойства логарифмов

Логарифм числа \( b \) по основанию \( a \) (\( \log_a b \)) определяется как показатель степени, в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \). Математически это записывается как: \( a^{\log_a b} = b \).

Для успешного решения заданий ЕГЭ учащимся необходимо уверенно владеть следующими свойствами логарифмов:

• \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \) (логарифм произведения)
• \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (логарифм частного)
• \( \log_a b^c = c \cdot \log_a b \) (логарифм степени)
• \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \) (формула перехода к новому основанию)
• \( a^{\log_a b} = b \) (основное логарифмическое тождество)
• \( \log_a a = 1 \), \( \log_a 1 = 0 \)

Особенности заданий с логарифмами в ЕГЭ

В задании 7 профильного ЕГЭ по математике логарифмические выражения обычно представлены в виде комбинаций, требующих применения нескольких свойств одновременно. Типичные формулировки включают: "Найдите значение выражения", "Упростите выражение" или "Вычислите".

При решении таких заданий важно обращать внимание на:

1. Область допустимых значений (ОДЗ) логарифмического выражения
2. Возможность преобразования выражения к более простому виду
3. Использование свойств логарифмов для сокращения вычислений
4. Проверку полученного результата на соответствие исходным условиям

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного выполнения заданий с логарифмами в ЕГЭ необходимо знать и уметь применять следующие математические факты:

• Определение логарифма: \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \)
• Свойство логарифма произведения: \( \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \)
• Свойство логарифма частного: \( \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \)
• Свойство логарифма степени: \( \log_a x^p = p \cdot \log_a x \)
• Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
• Частные случаи: \( \log_a a = 1 \), \( \log_a 1 = 0 \)
• Свойство: \( a^{\log_a b} = b \)
• Формула: \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \)
• Формула: \( \log_a b \cdot \log_b a = 1 \)

Разбор примеров заданий

Рассмотрим конкретные примеры заданий, аналогичных тем, которые встречаются в открытом банке заданий ФИПИ.

Задача 1

Найдите значение выражения \( \log_4 12.8 + \log_4 5 \).

Решение:

Воспользуемся свойством логарифма произведения: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \).

\( \log_4 12.8 + \log_4 5 = \log_4 (12.8 \cdot 5) = \log_4 64 \).

Теперь представим 64 как степень числа 4: \( 64 = 4^3 \).

Следовательно, \( \log_4 64 = \log_4 4^3 = 3 \cdot \log_4 4 = 3 \cdot 1 = 3 \).

Ответ: 3

Задача 2

Найдите значение выражения \( \log_7 147 - \log_7 3 \).

Решение:

Применим свойство логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).

\( \log_7 147 - \log_7 3 = \log_7 \frac{147}{3} = \log_7 49 \).

Число 49 можно представить как \( 7^2 \), поэтому \( \log_7 49 = \log_7 7^2 = 2 \cdot \log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2 \).

Ответ: 2

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 7 с логарифмами рекомендуется:

• Начинать с повторения определения логарифма и его основных свойств
• Отрабатывать навык преобразования логарифмических выражений различной сложности
• Уделять внимание типичным ошибкам, связанным с областью определения логарифмических функций
• Использовать разнообразные примеры для закрепления материала

Для организации эффективной работы на уроках и самостоятельной подготовки учащихся вы можете воспользоваться нашим Конструктором индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет генерировать уникальные варианты упражнений по теме "Логарифмы" для каждого ученика, учитывая его уровень подготовки и потребности.

Также на странице доступны для скачивания задания для самостоятельной работы, которые аналогичны тем, что находятся в открытом банке заданий ФИПИ. Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Заключение

Логарифмы в задании 7 профильного ЕГЭ по математике требуют от учащихся уверенного владения теоретическим материалом и навыками преобразования выражений. Систематическая работа над этой темой, включающая решение разнообразных задач и отработку основных свойств логарифмов, позволит учащимся успешно справиться с подобными заданиями на экзамене.