Задание 9 профильного ЕГЭ: Квадратные уравнения и неравенства

Задание 9 в профильном ЕГЭ по математике посвящено решению квадратных уравнений и неравенств — одной из фундаментальных тем школьного курса алгебры. Эта тема требует глубокого понимания математических принципов и умения применять различные методы решения.

Основные понятия и формулы

Квадратное уравнение — это уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a \neq 0 \). Для решения таких уравнений используются следующие методы:

Через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
По теореме Виета: для приведенного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) сумма корней равна \( -p \), а произведение — \( q \)
Выделение полного квадрата

Квадратное неравенство имеет вид \( ax^2 + bx + c > 0 \) (или с другими знаками неравенства). Алгоритм решения:

Найти корни соответствующего квадратного уравнения
Определить направление ветвей параболы
Записать решение неравенства, учитывая знак

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач с квадратными уравнениями и неравенствами в задании 9 ЕГЭ необходимо знать:

Формулы корней квадратного уравнения: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
Свойства дискриминанта: при D > 0 — два различных корня, при D = 0 — один корень, при D < 0 — действительных корней нет
Свойства квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \): направление ветвей параболы, координаты вершины \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), \( y_0 = -\frac{D}{4a} \)
Метод интервалов для решения квадратных неравенств
Свойства монотонности квадратичной функции на различных промежутках

Разбор практических задач

Задача 1: Движение мяча

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону \( h(t) = -36.8 + 29t - 5t^2 \), где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?

Решение:

Нам нужно найти промежуток времени, когда \( h(t) \geq 4 \). Составим неравенство:

\( -36.8 + 29t - 5t^2 \geq 4 \)

Перенесем все в одну сторону:

\( -5t^2 + 29t - 40.8 \geq 0 \)

Умножим на -1, поменяв знак неравенства:

\( 5t^2 - 29t + 40.8 \leq 0 \)

Найдем корни уравнения \( 5t^2 - 29t + 40.8 = 0 \):

Дискриминант: \( D = (-29)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 40.8 = 841 - 816 = 25 \)

Корни: \( t_{1,2} = \frac{29 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 5} = \frac{29 \pm 5}{10} \)

\( t_1 = \frac{29 - 5}{10} = 2.4 \), \( t_2 = \frac{29 + 5}{10} = 3.4 \)

Так как коэффициент при \( t^2 \) положительный, парабола направлена ветвями вверх, значит неравенство \( 5t^2 - 29t + 40.8 \leq 0 \) выполняется между корнями: \( t \in [2.4; 3.4] \).

Длина промежутка: \( 3.4 - 2.4 = 1 \) секунда.

Ответ: 1 секунда.

Задача 2: Движение мотоциклиста

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \( v_0 = 72 \) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \( a = 24 \) км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города определяется выражением \( S = v_0t + \frac{at^2}{2} \), где t — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 135 км от города. Ответ дайте в минутах.

Решение:

Нам нужно найти время, когда \( S \leq 135 \). Подставим значения:

\( 72t + \frac{24t^2}{2} \leq 135 \)

\( 72t + 12t^2 \leq 135 \)

Перенесем все в одну сторону:

\( 12t^2 + 72t - 135 \leq 0 \)

Разделим на 3 для упрощения:

\( 4t^2 + 24t - 45 \leq 0 \)

Найдем корни уравнения \( 4t^2 + 24t - 45 = 0 \):

Дискриминант: \( D = 24^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-45) = 576 + 720 = 1296 \)

\( \sqrt{D} = 36 \)

Корни: \( t_{1,2} = \frac{-24 \pm 36}{2 \cdot 4} = \frac{-24 \pm 36}{8} \)

\( t_1 = \frac{-24 - 36}{8} = \frac{-60}{8} = -7.5 \) (не подходит по смыслу задачи)

\( t_2 = \frac{-24 + 36}{8} = \frac{12}{8} = 1.5 \)

Так как коэффициент при \( t^2 \) положительный, парабола направлена ветвями вверх, значит неравенство \( 4t^2 + 24t - 45 \leq 0 \) выполняется между корнями: \( t \in [-7.5; 1.5] \).

С учетом того, что время не может быть отрицательным, получаем \( t \in [0; 1.5] \) часа.

Наибольшее время: 1.5 часа = 90 минут.

Ответ: 90 минут.

Методические материалы для учителей

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 9 профильного ЕГЭ по теме "Квадратные уравнения и неравенства" рекомендуем использовать наши методические материалы. В разделе сайта вы найдете PDF-файлы с подборками задач, аналогичных тем, которые встречаются в открытом банке заданий ФИПИ.

Особого внимания заслуживает наш Конструктор индивидуальных заданий — специальный сервис для учителей математики, который позволяет создавать уникальные варианты задач по теме "Квадратные уравнения и неравенства" для каждого ученика. Это особенно полезно при организации самостоятельных и контрольных работ, а также для дифференцированного подхода в обучении.

Предлагаемые задания охватывают различные аспекты темы: от простейших квадратных уравнений до сложных неравенств с параметрами. Все материалы составлены с учетом требований ЕГЭ и могут быть использованы как на уроках, так и для самостоятельной подготовки учащихся.