Задание 9 профильного ЕГЭ: логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства составляют важную часть задания 9 в профильном ЕГЭ по математике. Эта тема требует от учащихся уверенного владения свойствами логарифмов и умения применять различные методы решения. В статье рассмотрим ключевые аспекты, которые помогут учителям эффективно подготовить учеников к выполнению этого задания.

Основные понятия и свойства логарифмов

Для успешного решения логарифмических уравнений и неравенств необходимо твердое знание определений и свойств. Логарифм числа \( b \) по основанию \( a \) (\( a > 0, a \neq 1 \)) определяется как показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \):

\( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \)

Ключевые свойства логарифмов, которые активно используются при решении заданий:

• \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
• \( \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c \)
• \( \log_a b^c = c \cdot \log_a b \)
• \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \) (формула перехода к новому основанию)
• \( a^{\log_a b} = b \) (основное логарифмическое тождество)

Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений в задании 9 ЕГЭ профильного уровня применяются несколько основных методов:

Метод потенцирования

Этот метод используется, когда обе части уравнения представляют собой логарифмы с одинаковыми основаниями. Из равенства \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \) следует, что \( f(x) = g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).

Метод введения новой переменной

Если в уравнении встречаются повторяющиеся логарифмические выражения, удобно ввести новую переменную, что упрощает решение.

Метод логарифмирования

Когда переменная находится в показателе степени, применяется логарифмирование обеих частей уравнения.

Особенности решения логарифмических неравенств

Решение логарифмических неравенств имеет важную особенность: при переходе от логарифмов к выражениям под ними необходимо учитывать монотонность логарифмической функции:

• Если \( a > 1 \), то из \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) следует \( f(x) > g(x) \)
• Если \( 0 < a < 1 \), то из \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) следует \( f(x) < g(x) \)

Кроме того, всегда нужно помнить об области допустимых значений: выражения под знаком логарифма должны быть положительными, а основание логарифма — положительным и не равным 1.

Типичные ошибки при решении

Учащиеся часто допускают следующие ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств:

• Не учитывают область допустимых значений
• Неправильно применяют свойства логарифмов
• Забывают о направлении знака неравенства при разных основаниях логарифма
• Теряют корни или приобретают посторонние при преобразованиях

Математические факты и формулы для решения задач

Для решения задач на логарифмические уравнения и неравенства в задании 9 профильного ЕГЭ необходимы следующие математические факты и формулы:

• Определение логарифма: \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \)
• Свойства логарифмов: произведение, частное, степень
• Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
• Основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \)
• Свойства логарифмической функции: монотонность, область определения
• Методы решения уравнений: потенцирование, замена переменной, логарифмирование
• Методы решения неравенств: учет области определения, учет основания логарифма
• Свойства степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( (a^m)^n = a^{mn} \), \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

Практические задачи с решениями

Рассмотрим две задачи, аналогичные тем, которые могут встретиться в задании 9 профильного ЕГЭ:

Задача 1

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени \( v = 2 \) моля воздуха объёмом \( V_1 = 14 \) л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \( V_2 \). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \( A = \alpha v T \log_2 \left( \frac{V_1}{V_2} \right) \) (Дж), где \( \alpha = 3,5 \) — постоянная, а \( T = 290 \) К — температура воздуха. Какой объём \( V_2 \) (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 2030 Дж?

Решение:

Подставим известные значения в формулу:

\( 2030 = 3,5 \cdot 2 \cdot 290 \cdot \log_2 \left( \frac{14}{V_2} \right) \)

\( 2030 = 2030 \cdot \log_2 \left( \frac{14}{V_2} \right) \)

\( \log_2 \left( \frac{14}{V_2} \right) = 1 \)

\( \frac{14}{V_2} = 2^1 \)

\( \frac{14}{V_2} = 2 \)

\( V_2 = \frac{14}{2} = 7 \) л

Ответ: 7 л

Задача 2

Водолазный колокол, содержащий \( \nu = 3 \) моля воздуха при давлении \( p_1 = 5 \) атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \( p_2 \). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \( A = \alpha \nu T \log_2 \left( \frac{p_2}{p_1} \right) \), где \( \alpha = 8 \) — постоянная, \( T = 290 \) К — температура воздуха. Найдите, какое давление \( p_2 \) (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 13920 Дж.

Решение:

Подставим известные значения в формулу:

\( 13920 = 8 \cdot 3 \cdot 290 \cdot \log_2 \left( \frac{p_2}{5} \right) \)

\( 13920 = 6960 \cdot \log_2 \left( \frac{p_2}{5} \right) \)

\( \log_2 \left( \frac{p_2}{5} \right) = 2 \)

\( \frac{p_2}{5} = 2^2 \)

\( \frac{p_2}{5} = 4 \)

\( p_2 = 4 \cdot 5 = 20 \) атм

Ответ: 20 атм

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 9 профильного ЕГЭ по теме "Логарифмические уравнения и неравенства" рекомендуется:

• Систематически повторять свойства логарифмов и степеней
• Отрабатывать алгоритмы решения основных типов задач
• Уделять особое внимание определению области допустимых значений
• Использовать разноуровневые задания для дифференцированного подхода
• Включать в уроки задачи прикладного характера, подобные рассмотренным выше

Для организации эффективной работы на уроках вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика по теме "Логарифмические уравнения и неравенства".

Также на странице доступны материалы для самостоятельной работы, содержащие задания, аналогичные тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Используя предложенные материалы и методы работы, вы сможете качественно подготовить учащихся к успешному выполнению задания 9 профильного ЕГЭ по математике.