Задание 9 ВПР-5: Признаки делимости чисел

Всероссийская проверочная работа по математике для 5 класса включает задания, проверяющие понимание основных математических понятий. Задание 9 часто посвящено теме признаков делимости — фундаментальному разделу, который требует от учащихся не только запоминания правил, но и умения применять их в нестандартных ситуациях.

Основные признаки делимости

Признаки делимости — это правила, позволяющие быстро определить, делится ли число на другое число без остатка, не выполняя деления непосредственно. В школьной программе 5 класса изучаются следующие основные признаки:

• Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8)
• Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3
• Признак делимости на 4: число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4
• Признак делимости на 5: число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5
• Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3
• Признак делимости на 8: число делится на 8, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на 8
• Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9
• Признак делимости на 10: число делится на 10, если оно оканчивается на 0
• Признак делимости на 11: число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на четных позициях, и суммы цифр, стоящих на нечетных позициях, делится на 11

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного выполнения заданий на признаки делимости в ВПР учащимся необходимо знать следующие математические факты:

1. Любое натуральное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых
2. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число
3. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число
4. Если число делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение
5. Для определения минимального количества предметов, которые нужно убрать или добавить, чтобы число делилось на данное, нужно найти остаток от деления исходного числа на делитель

Примеры решения задач из ВПР

Задача 1

В коробке лежат 286 карандашей. Какое минимальное количество карандашей нужно достать из коробки, чтобы оставшееся количество делилось на 9?

Решение:

Применим признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Найдем сумму цифр числа 286: 2 + 8 + 6 = 16.

Ближайшее число, которое делится на 9 — это 18. Разница между 18 и 16 составляет 2, но если мы уберем 2 карандаша, получим 284, сумма цифр: 2 + 8 + 4 = 14, что не делится на 9.

Рассмотрим другой подход: найдем остаток от деления 286 на 9.

286 ÷ 9 = 31 (остаток 7), так как 9 × 31 = 279, 286 - 279 = 7.

Чтобы число делилось на 9, остаток должен быть равен 0. Значит, нужно убрать 7 карандашей.

Проверим: 286 - 7 = 279. Сумма цифр: 2 + 7 + 9 = 18, что делится на 9.

Ответ: 7

Задача 2

В коробке лежат 274 карандаша. Какое минимальное количество карандашей нужно достать из коробки, чтобы оставшееся количество делилось и на 2, и на 9?

Решение:

Чтобы число делилось и на 2, и на 9, оно должно делиться на 18 (так как 2 и 9 взаимно просты).

Найдем остаток от деления 274 на 18.

18 × 15 = 270, 274 - 270 = 4.

Значит, чтобы число делилось на 18, нужно убрать 4 карандаша.

Проверим: 274 - 4 = 270. Это число четное (делится на 2) и сумма его цифр 2 + 7 + 0 = 9 делится на 9.

Ответ: 4

Практические материалы для учителей

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 9 ВПР по теме "Признаки делимости" рекомендуем использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика, что особенно ценно при отработке навыков применения признаков делимости.

На странице также доступны PDF-файлы с заданиями для самостоятельной работы, которые аналогичны задачам, встречающимся в ВПР. Эти материалы помогут организовать систематическую подготовку учащихся к проверочной работе.

При изучении признаков делимости важно обращать внимание не только на запоминание правил, но и на понимание их логического обоснования. Это развивает математическое мышление учащихся и помогает им успешно справляться с нестандартными формулировками задач в рамках Всероссийской проверочной работы.