Задание 17 ВПР-5. Задачи на движение: от простого к сложному

Задачи на движение традиционно относятся к заданиям повышенной сложности в проверочных работах по математике. В рамках задания 17 ВПР по математике для 5 класса учащиеся встречаются с различными типами задач на движение, требующими не только знания базовых формул, но и развитого пространственного мышления, умения анализировать условие и рассматривать различные случаи.

Основные формулы и понятия

Для успешного решения задач на движение необходимо уверенное владение тремя взаимосвязанными формулами:

• Расстояние: \( S = v \cdot t \)
• Скорость: \( v = \frac{S}{t} \)
• Время: \( t = \frac{S}{v} \)

где \( S \) - расстояние, \( v \) - скорость, \( t \) - время.

Особое внимание следует уделить единицам измерения: если скорость выражена в км/ч, то время должно быть в часах, а расстояние - в километрах. Аналогично для других единиц измерения.

Типы задач на движение в ВПР

В задании 17 ВПР по математике для 5 класса встречаются следующие типы задач на движение:

• Движение навстречу друг другу
• Движение в противоположных направлениях
• Движение вдогонку
• Движение с отставанием
• Задачи на совместное движение

Методика решения задач на движение

При решении задач на движение рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

1. Внимательно прочитать условие задачи, выделить все числовые данные
2. Определить, что является неизвестным (что нужно найти)
3. Сделать схематический чертеж, отражающий ситуацию
4. Выбрать подходящую формулу или комбинацию формул
5. Составить уравнение или систему уравнений
6. Решить полученное уравнение
7. Проверить ответ на соответствие условию задачи

Математические факты и формулы для решения задач на движение

Для решения задач на движение, включая задачу про автомобиль и автобус из пунктов А и Б, необходимы следующие математические факты и формулы:

• Формула пути: \( S = v \cdot t \)
• Скорость сближения при движении навстречу: \( v_{сбл} = v_1 + v_2 \)
• Скорость удаления при движении в противоположных направлениях: \( v_{уд} = v_1 + v_2 \)
• Скорость сближения при движении вдогонку: \( v_{сбл} = v_1 - v_2 \) (где \( v_1 > v_2 \))
• Формула расстояния между объектами через время t: \( S_{общ} = S_{нач} \pm (v_1 \pm v_2) \cdot t \), где знак зависит от направления движения
• Умение анализировать различные случаи взаимного расположения объектов

Разбор задачи про автомобиль и автобус

Рассмотрим подробное решение задачи, аналогичной тем, которые встречаются в ВПР:

Задача

Через пункты А и Б, расстояние между которыми 750 км, проходит прямолинейное шоссе. Из пунктов А и Б одновременно выехали автомобиль и автобус. Автомобиль едет со скоростью 55 км/ч, автобус – со скоростью 50 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилем и автобусом через час? Найдите все возможные варианты.

Решение

Проанализируем различные случаи движения транспортных средств:

Случай 1: Движение навстречу друг другу

Скорость сближения: \( v_{сбл} = 55 + 50 = 105 \) км/ч

Расстояние, пройденное за 1 час: \( S_{пройд} = 105 \cdot 1 = 105 \) км

Расстояние между автомобилем и автобусом через час: \( 750 - 105 = 645 \) км

Случай 2: Движение в противоположных направлениях

Скорость удаления: \( v_{уд} = 55 + 50 = 105 \) км/ч

Расстояние между автомобилем и автобусом через час: \( 750 + 105 = 855 \) км

Случай 3: Движение в одном направлении (автомобиль догоняет автобус)

Если оба движутся из А в Б, и автомобиль впереди:

Скорость удаления: \( v_{уд} = 55 - 50 = 5 \) км/ч

Расстояние между автомобилем и автобусом через час: \( 750 + 5 = 755 \) км

Случай 4: Движение в одном направлении (автобус догоняет автомобиль)

Если оба движутся из Б в А, и автобус впереди:

Скорость удаления: \( v_{уд} = 50 - 55 = -5 \) км/ч (автомобиль удаляется)

Расстояние между автомобилем и автобусом через час: \( 750 + 5 = 755 \) км

Или если автомобиль движется из А в Б, а автобус из Б в А, но автомобиль быстрее:

Скорость сближения: \( v_{сбл} = 55 - 50 = 5 \) км/ч

Расстояние между автомобилем и автобусом через час: \( 750 - 5 = 745 \) км

Ответ: 645 км, 855 км, 755 км, 745 км

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к решению задач на движение в рамках ВПР рекомендуется:

• Начинать с простых задач на применение базовых формул
• Постепенно усложнять задания, добавляя анализ различных случаев
• Уделять особое внимание графическим методам решения - построению схем и чертежей
• Тренировать навык проверки полученного ответа на соответствие условию задачи
• Разбирать типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении задач на движение

Для отработки навыков решения задач на движение вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет генерировать уникальные варианты задач для каждого ученика. Задания, созданные в конструкторе, аналогичны тем, которые встречаются в ВПР по математике для 5 класса.