Задание 12 ВПР-6: Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу занимают важное место в программе Всероссийской проверочной работы по математике для 6 класса. Этот тип заданий проверяет умение учащихся работать с понятиями производительности, времени выполнения работы и объёма работы. В статье разберём ключевые аспекты этой темы, которые помогут учителям эффективно подготовить учеников.

Основные понятия и формулы

При решении задач на совместную работу используются три взаимосвязанные величины:

• Объём работы (A) — вся работа, которую необходимо выполнить
• Производительность (p) — количество работы, выполняемое в единицу времени
• Время работы (t) — период, за который выполняется работа

Основная формула, связывающая эти величины: \( A = p \times t \)

Когда несколько работников выполняют работу вместе, их производительности складываются. Если первый работник выполняет всю работу за \( t_1 \) времени, а второй — за \( t_2 \) времени, то их совместная производительность равна \( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \) частей работы в единицу времени.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на совместную работу ученикам необходимо знать следующие математические факты:

1. Если работник выполняет всю работу за \( t \) единиц времени, то его производительность равна \( \frac{1}{t} \) работы в единицу времени.
2. При совместной работе производительности участников складываются.
3. Время, необходимое для выполнения работы при совместной работе, вычисляется по формуле: \( t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + ... + \frac{1}{t_n}} \)
4. Если объём работы не указан явно, его удобно принять за 1 (единицу).
5. При решении задач с дробями важно уметь находить общий знаменатель и выполнять арифметические операции с дробями.

Примеры решения задач

Задача 1

Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 36 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение:

Примем весь объём работы за 1.

Производительность первого мастера: \( \frac{1}{12} \) работы в час

Производительность второго мастера: \( \frac{1}{36} \) работы в час

Совместная производительность: \( \frac{1}{12} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} + \frac{1}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \) работы в час

Время совместной работы: \( 1 : \frac{1}{9} = 9 \) часов

Ответ: 9 часов

Задача 2

Первый насос наполняет бак за 45 минут, второй — за 40 минут, а третий — за 2 часа. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение:

Приведём все времена к одним единицам измерения — минутам: 2 часа = 120 минут

Примем объём бака за 1.

Производительность первого насоса: \( \frac{1}{45} \) бака в минуту

Производительность второго насоса: \( \frac{1}{40} \) бака в минуту

Производительность третьего насоса: \( \frac{1}{120} \) бака в минуту

Совместная производительность: \( \frac{1}{45} + \frac{1}{40} + \frac{1}{120} \)

Найдём общий знаменатель: НОК(45, 40, 120) = 360

\( \frac{8}{360} + \frac{9}{360} + \frac{3}{360} = \frac{20}{360} = \frac{1}{18} \) бака в минуту

Время наполнения бака: \( 1 : \frac{1}{18} = 18 \) минут

Ответ: 18 минут

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к решению задач на совместную работу рекомендуется:

• Начинать с простых задач с двумя участниками, постепенно переходя к более сложным с тремя и более участниками
• Обращать внимание на единицы измерения времени и необходимости их согласования
• Тренировать навыки работы с дробями, которые являются основным инструментом при решении таких задач
• Разбирать типичные ошибки: сложение времён вместо производительностей, неверное приведение к общему знаменателю

Для отработки навыков решения задач на совместную работу вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика, что особенно ценно при подготовке к ВПР.

Типы задач в ВПР

В задании 12 ВПР по математике для 6 класса встречаются различные формулировки задач на совместную работу:

• Работа нескольких мастеров, рабочих или механизмов
• Наполнение резервуаров различными трубами или насосами
• Выполнение заказов или проектов несколькими исполнителями

Все эти задачи объединяет общий принцип решения через сложение производительностей участников.

Дополнительные материалы

На странице представлены задания для самостоятельной работы, аналогичные тем, которые встречаются в ВПР. Эти материалы помогут учителям организовать эффективную подготовку учащихся к выполнению задания 12. Задачи составлены с учётом требований ФГОС и содержат различные уровни сложности для дифференцированного подхода в обучении.