Задание 2 ВПР-8: Полные квадратные уравнения

Второе задание Всероссийской проверочной работы по математике для 8 класса часто посвящено решению полных квадратных уравнений. Эта тема является фундаментальной в школьном курсе алгебры и требует от учащихся уверенного владения несколькими методами решения.

Что такое полное квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение — это уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где коэффициенты a, b и c — действительные числа, причем \( a \neq 0 \). От неполных квадратных уравнений оно отличается наличием всех трех коэффициентов, включая линейный член bx и свободный член c.

Особенностью полных квадратных уравнений является то, что они могут иметь:

Два различных действительных корня
Один действительный корень (два равных корня)
Два комплексных корня (в школьной программе обычно говорят "нет действительных корней")

Основные методы решения полных квадратных уравнений

Решение через дискриминант

Наиболее универсальным методом решения полных квадратных уравнений является использование дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле: \( D = b^2 - 4ac \).

В зависимости от значения дискриминанта:

Если \( D > 0 \), уравнение имеет два различных корня: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
Если \( D = 0 \), уравнение имеет один корень: \( x = -\frac{b}{2a} \)
Если \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней

Метод выделения полного квадрата

Альтернативным методом является выделение полного квадрата. Этот метод особенно полезен, когда коэффициенты уравнения позволяют преобразовать его к виду \( (x + p)^2 = q \).

Алгоритм выделения полного квадрата:

Разделить все члены уравнения на коэффициент при \( x^2 \), если \( a \neq 1 \)
Перенести свободный член в правую часть
Дополнить левую часть до полного квадрата, прибавив и вычтя квадрат половины коэффициента при x

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения полных квадратных уравнений в задании 2 ВПР-8 необходимо знать:

Общий вид полного квадратного уравнения: \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a \neq 0 \)
Формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \)
Формулы корней через дискриминант: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
Свойства корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \), \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) (теорема Виета)
Разложение квадратного трехчлена на множители: \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \)

Практические задания с решениями

Рассмотрим несколько примеров полных квадратных уравнений, аналогичных тем, которые встречаются в задании 2 ВПР-8.

Задача 1

Решите уравнение: \( -x^2 - 6x - 8 = 0 \)

Решение:

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента при \( x^2 \):

\( x^2 + 6x + 8 = 0 \)

Вычислим дискриминант: \( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \)

Найдем корни уравнения: \( x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2}{2} \)

\( x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Ответ: -4; -2

Задача 2

Решите уравнение: \( -10x^2 + 13 = -3x \)

Решение:

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

\( -10x^2 + 3x + 13 = 0 \)

Умножим обе части на -1: \( 10x^2 - 3x - 13 = 0 \)

Вычислим дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-13) = 9 + 520 = 529 \)

Найдем корни уравнения: \( x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 10} = \frac{3 \pm 23}{20} \)

\( x_1 = \frac{3 + 23}{20} = \frac{26}{20} = 1.3 \), \( x_2 = \frac{3 - 23}{20} = \frac{-20}{20} = -1 \)

Ответ: -1; 1.3

Подготовка к ВПР с помощью конструктора индивидуальных заданий

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 2 ВПР-8 по теме "Полные квадратные уравнения" рекомендуем использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет учителям математики создавать уникальные варианты задач для каждого ученика, учитывая их уровень подготовки и типичные ошибки.

С помощью Конструктора индивидуальных заданий вы можете:

Генерировать неограниченное количество вариантов заданий на решение полных квадратных уравнений
Контролировать сложность задач, подбирая коэффициенты определенным образом
Создавать задания, аналогичные тем, которые встречаются в ВПР
Формировать индивидуальные домашние задания и контрольные работы

Самостоятельные работы, которые можно скачать на этой странице, составлены с учетом требований Всероссийской проверочной работы и содержат задания, аналогичные тем, которые встречаются в реальных вариантах ВПР.