Задание 3 ВПР-8: Задачи на составление квадратных уравнений

Третье задание Всероссийской проверочной работы по математике для 8 класса часто посвящено задачам на составление квадратных уравнений. Этот тип заданий проверяет умение учащихся переводить текстовые условия в математические выражения и решать полученные уравнения.

Особенности задач на составление квадратных уравнений

В задачах данного типа обычно описывается некоторая ситуация, связанная с числами, геометрическими фигурами или другими математическими объектами. Учащемуся необходимо:

• Внимательно прочитать условие и выделить ключевые данные
• Ввести переменные для неизвестных величин
• Составить уравнение на основе условий задачи
• Решить полученное квадратное уравнение
• Проанализировать полученные решения на соответствие условию

Основные типы задач и подходы к их решению

Среди наиболее распространенных типов задач на составление квадратных уравнений можно выделить:

Задачи на нахождение чисел

В таких задачах обычно даются соотношения между числами (одно число на определенную величину больше/меньше другого) и дополнительная информация о их произведении, сумме квадратов или других характеристиках.

Геометрические задачи

Часто встречаются задачи на нахождение сторон прямоугольника, катетов прямоугольного треугольника или других геометрических фигур, когда известны некоторые соотношения между сторонами и дополнительные параметры (площадь, периметр, диагональ).

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на составление квадратных уравнений учащимся необходимо знать:

• Общий вид квадратного уравнения: \( ax^2 + bx + c = 0 \)
• Формулы для решения квадратных уравнений:
  • Через дискриминант: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( D = b^2 - 4ac \)
  • Теорему Виета для приведенных уравнений: \( x_1 + x_2 = -p \), \( x_1 \cdot x_2 = q \)
• Свойства натуральных, целых и действительных чисел
• Формулы для геометрических фигур:
  • Площадь прямоугольника: \( S = a \cdot b \)
  • Теорема Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
  • Периметр прямоугольника: \( P = 2(a + b) \)

Разбор конкретных задач

Задача 1

Сумма квадратов двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого, равна 1037. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть меньшее число равно \( x \), тогда большее число равно \( x + 7 \). По условию задачи сумма квадратов этих чисел равна 1037:

\( x^2 + (x + 7)^2 = 1037 \)

Раскроем скобки:

\( x^2 + x^2 + 14x + 49 = 1037 \)

\( 2x^2 + 14x + 49 - 1037 = 0 \)

\( 2x^2 + 14x - 988 = 0 \)

Разделим все члены уравнения на 2:

\( x^2 + 7x - 494 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-494) = 49 + 1976 = 2025 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45 \)

Найдем корни уравнения:

\( x = \frac{-7 \pm 45}{2} \)

\( x_1 = \frac{-7 + 45}{2} = \frac{38}{2} = 19 \)

\( x_2 = \frac{-7 - 45}{2} = \frac{-52}{2} = -26 \)

Поскольку по условию числа натуральные, отрицательный корень не подходит. Таким образом, меньшее число равно 19, а большее \( 19 + 7 = 26 \).

Ответ: 19 и 26.

Задача 2

Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого, а гипотенуза равна 58 см. Найдите катеты этого треугольника.

Решение:

Пусть меньший катет равен \( x \) см, тогда больший катет равен \( x + 2 \) см. По теореме Пифагора:

\( x^2 + (x + 2)^2 = 58^2 \)

\( x^2 + x^2 + 4x + 4 = 3364 \)

\( 2x^2 + 4x + 4 - 3364 = 0 \)

\( 2x^2 + 4x - 3360 = 0 \)

Разделим все члены уравнения на 2:

\( x^2 + 2x - 1680 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1680) = 4 + 6720 = 6724 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{6724} = 82 \)

Найдем корни уравнения:

\( x = \frac{-2 \pm 82}{2} \)

\( x_1 = \frac{-2 + 82}{2} = \frac{80}{2} = 40 \)

\( x_2 = \frac{-2 - 82}{2} = \frac{-84}{2} = -42 \)

Отрицательное значение длины не имеет смысла, поэтому меньший катет равен 40 см, а больший \( 40 + 2 = 42 \) см.

Ответ: 40 см и 42 см.

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к решению задач на составление квадратных уравнений рекомендуется:

1. Начинать с простых задач, постепенно увеличивая сложность
2. Уделять внимание анализу условия и правильному введению переменных
3. Тренировать навык проверки полученных решений на соответствие условию задачи
4. Использовать разнообразные формулировки задач для развития гибкости мышления

Для отработки навыков решения задач на составление квадратных уравнений вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика, что особенно полезно при подготовке к ВПР.

Также на странице доступны для скачивания задания для самостоятельной работы, которые по структуре и сложности аналогичны задачам, встречающимся в Всероссийской проверочной работе по математике для 8 класса.

Успешное выполнение задания 3 ВПР требует не только знания формул и методов решения квадратных уравнений, но и умения применять эти знания в нестандартных ситуациях. Регулярная практика решения разнообразных задач поможет учащимся уверено справляться с подобными заданиями на проверочной работе.