Задание 9 ВПР-8: Элементы равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — одна из ключевых тем в школьном курсе геометрии, которая регулярно встречается в задании 9 Всероссийской проверочной работы по математике для 8 класса. Понимание свойств и элементов этой фигуры необходимо для успешного выполнения проверочных работ.

Основные элементы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике можно выделить следующие характерные элементы:

• Боковые стороны — две равные по длине стороны треугольника
• Основание — третья сторона, которая отличается по длине от боковых
• Углы при основании — два равных угла, расположенных при основании
• Вершина — угол, противолежащий основанию
• Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на основание (является также медианой и биссектрисой)

Свойства и теоремы

Для успешного решения задач с равнобедренными треугольниками в ВПР необходимо знать следующие математические факты:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \angle A = \angle C \), если AB = BC
2. Биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой
3. Медиана, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой
4. Высота, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и медианой
5. Сумма углов любого треугольника равна 180°: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
6. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (признак равнобедренного треугольника)

Формулы для решения задач

При решении задач с равнобедренными треугольниками в ВПР полезны следующие соотношения:

• Если известен угол при вершине \( \alpha \), то углы при основании равны: \( \frac{180^\circ - \alpha}{2} \)
• Если известен угол при основании \( \beta \), то угол при вершине равен: \( 180^\circ - 2\beta \)
• Высота равнобедренного треугольника: \( h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} \), где a — боковая сторона, b — основание
• Площадь равнобедренного треугольника: \( S = \frac{1}{2}bh \) или \( S = \frac{1}{2}a^2\sin\alpha \), где α — угол между боковыми сторонами

Математические факты и формулы для решения задач ВПР

Для решения задач по теме "Равнобедренный треугольник" в ВПР необходимо знать:

1. Свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равны
2. Сумма углов треугольника равна 180°
3. В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают
4. Если в треугольнике две стороны равны, то он равнобедренный
5. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный
6. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним

Разбор задач ВПР

Задача 1

В треугольнике FXC известно, что FX = XC, ∠FXC = 150°. Найдите угол XCF. Ответ дайте в градусах.

Решение:

По условию треугольник FXC — равнобедренный с основанием FC, так как FX = XC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому ∠XFC = ∠XCF.

Сумма углов треугольника равна 180°: ∠FXC + ∠XFC + ∠XCF = 180°

Подставляем известные значения: 150° + ∠XFC + ∠XCF = 180°

Так как ∠XFC = ∠XCF, обозначим их через x: 150° + x + x = 180°

150° + 2x = 180°

2x = 30°

x = 15°

Ответ: ∠XCF = 15°

Задача 2

Точка B на стороне FK треугольника FKR выбрана так, что FB = FR. Известно, что ∠RFK = 56° и ∠FRK = 68°. Найдите угол BRK. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник FBR. По условию FB = FR, значит, треугольник FBR — равнобедренный с основанием BR.

В равнобедренном треугольнике FBR углы при основании равны: ∠FRB = ∠FBR

Найдем угол FRB в треугольнике FBR. Для этого сначала определим угол BFR.

В треугольнике FKR известны: ∠RFK = 56°, ∠FRK = 68°

Найдем угол FKR: 180° - 56° - 68° = 56°

Теперь рассмотрим треугольник FBR. Угол BFR является частью угла RFK и равен 56° (по условию).

В равнобедренном треугольнике FBR: ∠FRB = ∠FBR = (180° - 56°)/2 = 124°/2 = 62°

Теперь найдем угол BRK. Угол BRK является частью угла FRK:

∠BRK = ∠FRK - ∠FRB = 68° - 62° = 6°

Ответ: ∠BRK = 6°

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 9 ВПР по теме "Равнобедренный треугольник" рекомендуется:

• Отработать навык распознавания равнобедренных треугольников по различным признакам
• Закрепить знание свойств равнобедренных треугольников
• Научить учащихся правильно применять теорему о сумме углов треугольника
• Тренировать умение находить равные элементы в конфигурациях с равнобедренными треугольниками

Для дополнительной практики вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет создавать уникальные варианты задач по теме "Равнобедренный треугольник" для каждого ученика. Задания, генерируемые конструктором, аналогичны тем, которые встречаются в Всероссийской проверочной работе.

Также на странице доступны PDF-файлы с заданиями для самостоятельной работы, которые можно использовать на уроках для подготовки к ВПР или в качестве домашнего задания.