Задание 9 ВПР-8: Элементы трапеции и их свойства

Задание 9 во Всероссийской проверочной работе по математике для 8 класса часто посвящено геометрическим фигурам, среди которых особое место занимает трапеция. Понимание элементов трапеции и их свойств является ключевым для успешного выполнения этого задания. В этой статье мы систематизируем знания о трапеции, разберем ее основные элементы и рассмотрим типичные задачи, которые встречаются в ВПР.

Что такое трапеция и ее основные элементы

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - не параллельны. Давайте подробно рассмотрим все элементы этой фигуры:

• Основания трапеции - параллельные стороны. Обычно их называют верхним и нижним основаниями, причем нижнее основание часто является большим по длине.
• Боковые стороны - непараллельные стороны трапеции.
• Высота трапеции - перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое основание или его продолжение. Все высоты трапеции равны между собой.
• Углы трапеции - углы при каждом из оснований. Углы при одном основании являются односторонними, поэтому их сумма всегда равна 180°.
• Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме: \( m = \frac{a + b}{2} \), где \( a \) и \( b \) - длины оснований.
• Диагонали трапеции - отрезки, соединяющие противоположные вершины.

Виды трапеций

В школьном курсе математики рассматриваются несколько видов трапеций:

• Произвольная трапеция - трапеция без дополнительных свойств.
• Прямоугольная трапеция - трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В такой трапеции два угла обязательно являются прямыми.
• Равнобедренная (равнобокая) трапеция - трапеция, у которой боковые стороны равны. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании попарно равны, а диагонали имеют одинаковую длину.

Математические факты и формулы для решения задач с трапецией

Для успешного решения задач с трапецией в задании 9 ВПР необходимо знать следующие математические факты и формулы:

• Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°: \( \angle A + \angle D = 180° \), \( \angle B + \angle C = 180° \).
• В равнобедренной трапеции углы при основании равны: \( \angle A = \angle B \), \( \angle C = \angle D \).
• В прямоугольной трапеции два угла являются прямыми (90°).
• Сумма всех углов трапеции равна 360°, как и у любого четырехугольника.
• Для нахождения отдельных углов трапеции часто используются свойства параллельных прямых и секущей.

Решение задач на нахождение углов трапеции

Рассмотрим две характерные задачи, которые помогут отработать навыки работы с углами трапеции.

Задача 1

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 290°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поскольку сумма двух углов равна 290°, что больше 180°, это не могут быть углы при одной боковой стороне (их сумма всегда равна 180°). Следовательно, эти углы находятся при разных основаниях.

Обозначим углы трапеции как A, B, C, D, где A и B - углы при одном основании, C и D - при другом. В равнобедренной трапеции A = D и B = C.

Пусть A + C = 290°. Но поскольку A + B = 180° (как односторонние при параллельных прямых), то B = 180° - A.

Так как в равнобедренной трапеции B = C, то C = 180° - A.

Подставляем в исходное уравнение: A + (180° - A) = 290°? Это дает 180° = 290°, что неверно.

Рассмотрим другой вариант: A + B = 290°, но это невозможно, так как A + B = 180° (односторонние углы).

Значит, возможен только вариант, когда складываются углы при разных основаниях, но не adjacent: A + C = 290°.

Но A = D и B = C, поэтому A + C = A + B = 180°? Это противоречие.

Давайте решим системно: в равнобедренной трапеции A = D, B = C, A + B = 180°, C + D = 180°.

Если A + C = 290°, то учитывая, что C = B, получаем A + B = 290°, но это противоречит A + B = 180°.

Единственная возможность: A + D = 290°, но A = D, поэтому 2A = 290°, A = 145°.

Тогда B = 180° - A = 180° - 145° = 35°.

Меньший угол равен 35°.

Ответ: 35

Задача 2

Найдите больший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 5:7. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Пусть углы трапеции обозначены как A, B, C, D, где A и B - углы при одном основании, C и D - при другом, причем A = D и B = C.

Отношение двух углов 5:7 может быть в двух случаях:

1. Углы при одном основании: A:B = 5:7
2. Углы при разных основаниях: A:C = 5:7

Рассмотрим первый случай: A:B = 5:7. Но A + B = 180° (односторонние углы).

Пусть A = 5x, B = 7x, тогда 5x + 7x = 180°, 12x = 180°, x = 15°.

Тогда A = 5·15° = 75°, B = 7·15° = 105°.

Больший угол равен 105°.

Рассмотрим второй случай: A:C = 5:7. Но C = B (в равнобедренной трапеции), и A + B = 180°.

Пусть A = 5x, C = 7x, но C = B, поэтому A + B = 5x + 7x = 12x = 180°, x = 15°.

Тогда A = 75°, B = 105° - такой же результат.

Больший угол равен 105°.

Ответ: 105

Как подготовить учащихся к заданию 9 ВПР

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 9 ВПР, посвященному элементам трапеции, рекомендуем:

• Повторить основные определения и свойства трапеции разных видов.
• Отработать навыки обозначения элементов трапеции на чертеже.
• Решать задачи на нахождение неизвестных элементов трапеции по известным.
• Использовать наш Конструктор индивидуальных заданий для создания уникальных вариантов задач для каждого ученика.

На странице с материалами для подготовки к ВПР вы найдете PDF-файлы с заданиями, аналогичными тем, которые встречаются в проверочной работе. Эти материалы помогут учащимся отработать навыки решения задач на элементы трапеции и успешно справиться с заданием 9 ВПР по математике в 8 классе.