Задание 13 ВПР-8. Разложение на множители: от теории к практике

Задание 13 в проверочной работе по математике для 8 класса традиционно посвящено теме разложения многочленов на множители. Этот раздел алгебры требует глубокого понимания различных методов и умения применять их в нестандартных ситуациях. В статье рассмотрим ключевые подходы к решению таких заданий и разберем конкретные примеры.

Основные методы разложения на множители

Для успешного выполнения заданий ВПР учащимся необходимо уверенно владеть несколькими способами разложения многочленов на множители:

Вынесение общего множителя за скобки — поиск наибольшего общего делителя всех членов многочлена
Применение формул сокращенного умножения — использование готовых алгебраических тождеств
Метод группировки — объединение членов многочлена в группы с последующим вынесением общего множителя
Разложение квадратного трехчлена на множители — через нахождение корней уравнения

Формулы сокращенного умножения

Эти формулы составляют основу для разложения многих алгебраических выражений:

Разность квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
Квадрат суммы: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Квадрат разности: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Сумма кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)
Разность кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен \( ax^2 + bx + c \) можно разложить на множители, если найти его корни \( x_1 \) и \( x_2 \). В этом случае справедливо равенство: \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \).

Корни трехчлена находятся через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \), затем \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).

Практическое применение методов

В заданиях ВПР часто встречаются уравнения, решение которых требует последовательного применения нескольких методов разложения на множители. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1: Решение уравнения с вынесением общего множителя

Решите уравнение: \( 16x^4 = 52x^3 + 14x^2 \)

Решение:

Перенесем все члены в левую часть: \( 16x^4 - 52x^3 - 14x^2 = 0 \)
Вынесем общий множитель \( 2x^2 \): \( 2x^2(8x^2 - 26x - 7) = 0 \)
Получаем первый корень: \( 2x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \)
Решим квадратное уравнение: \( 8x^2 - 26x - 7 = 0 \)
Найдем дискриминант: \( D = (-26)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-7) = 676 + 224 = 900 \)
Корни квадратного уравнения: \( x = \frac{26 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 8} = \frac{26 \pm 30}{16} \)
Получаем: \( x_1 = \frac{56}{16} = 3.5 \), \( x_2 = \frac{-4}{16} = -0.25 \)

Ответ: 0; 3.5; -0.25

Пример 2: Использование формулы разности кубов

Решите уравнение: \( (2x+5)^3 = 169(2x+5) \)

Решение:

Перенесем все в одну сторону: \( (2x+5)^3 - 169(2x+5) = 0 \)
Вынесем общий множитель \( (2x+5) \): \( (2x+5)[(2x+5)^2 - 169] = 0 \)
Получаем первый корень: \( 2x+5 = 0 \Rightarrow x = -2.5 \)
Упростим выражение в скобках: \( (2x+5)^2 - 169 = 0 \)
Применим формулу разности квадратов: \( [(2x+5) - 13][(2x+5) + 13] = 0 \)
Получаем: \( (2x - 8)(2x + 18) = 0 \)
Находим оставшиеся корни: \( 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4 \), \( 2x + 18 = 0 \Rightarrow x = -9 \)

Ответ: -2.5; 4; -9

Пример 3: Комбинирование методов

Решите уравнение: \( x(16x+12)^2 = 28(16x+12) \)

Решение:

Перенесем все в левую часть: \( x(16x+12)^2 - 28(16x+12) = 0 \)
Вынесем общий множитель \( (16x+12) \): \( (16x+12)[x(16x+12) - 28] = 0 \)
Получаем первый корень: \( 16x+12 = 0 \Rightarrow x = -0.75 \)
Упростим выражение в скобках: \( x(16x+12) - 28 = 16x^2 + 12x - 28 = 0 \)
Разделим на 4: \( 4x^2 + 3x - 7 = 0 \)
Найдем дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121 \)
Корни квадратного уравнения: \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm 11}{8} \)
Получаем: \( x_1 = \frac{8}{8} = 1 \), \( x_2 = \frac{-14}{8} = -1.75 \)

Ответ: -0.75; -1.75; 1