Задание 15 ВПР-8: Задачи на работу

Задачи на работу относятся к классическим текстовым задачам, которые регулярно встречаются во Всероссийской проверочной работе по математике для 8 класса. Эти задания проверяют умение учащихся составлять математические модели реальных ситуаций и решать полученные уравнения.

Основные понятия и формулы

При решении задач на работу используются несколько фундаментальных понятий:

• Производительность - объем работы, выполняемый за единицу времени (обозначается обычно как \( p \))
• Время работы - продолжительность выполнения работы (обозначается как \( t \))
• Объем работы - вся работа, которую нужно выполнить (часто принимается за 1 или обозначается как \( A \))

Основная формула, связывающая эти величины: \( A = p \times t \)

Если объем работы принимается за 1, то производительность вычисляется как \( p = \frac{1}{t} \), а время как \( t = \frac{1}{p} \).

Типы задач на работу

В заданиях ВПР по математике для 8 класса чаще всего встречаются:

• Задачи на определение производительности
• Задачи на совместную работу нескольких исполнителей
• Задачи на сравнение времени выполнения работы
• Задачи с изменением условий работы

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на работу необходимо знать:

• Формулу связи работы, времени и производительности: \( A = p \cdot t \)
• Правило сложения производительностей при совместной работе: \( p_{\text{общ}} = p_1 + p_2 + ... + p_n \)
• Методы решения рациональных уравнений, которые часто возникают при решении таких задач
• Способ составления уравнения на основе условия задачи
• Технику приведения подобных слагаемых и преобразования выражений
• Методы решения квадратных уравнений
• Проверку полученных результатов на соответствие условию задачи

Разбор конкретных задач

Задача 1

Условие: Заказ на 119 деталей первый рабочий выполняет на 10 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 10 деталей больше второго?

Решение:

Пусть \( x \) - производительность первого рабочего (деталей в час), тогда \( x-10 \) - производительность второго рабочего.

Время работы первого рабочего: \( \frac{119}{x} \) часов

Время работы второго рабочего: \( \frac{119}{x-10} \) часов

По условию первый рабочий тратит на 10 часов меньше:

\( \frac{119}{x-10} - \frac{119}{x} = 10 \)

Умножим обе части уравнения на \( x(x-10) \):

\( 119x - 119(x-10) = 10x(x-10) \)

\( 119x - 119x + 1190 = 10x^2 - 100x \)

\( 1190 = 10x^2 - 100x \)

\( 10x^2 - 100x - 1190 = 0 \)

\( x^2 - 10x - 119 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 100 + 476 = 576 \)

\( x = \frac{10 \pm 24}{2} \)

\( x_1 = 17 \), \( x_2 = -7 \) (не подходит по смыслу)

Ответ: 17 деталей в час изготавливает первый рабочий.

Задача 2

Условие: Плиточники планируют уложить 99 м² плитки. Если они будут укладывать на 8 м² в день больше, чем запланировали, то закончат работу на 24 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планируют укладывать плиточники?

Решение:

Пусть \( x \) - планируемая производительность (м² в день), тогда \( x+8 \) - увеличенная производительность.

Планируемое время работы: \( \frac{99}{x} \) дней

Время работы при увеличенной производительности: \( \frac{99}{x+8} \) дней

По условию разница во времени составляет 24 дня:

\( \frac{99}{x} - \frac{99}{x+8} = 24 \)

Умножим обе части уравнения на \( x(x+8) \):

\( 99(x+8) - 99x = 24x(x+8) \)

\( 99x + 792 - 99x = 24x^2 + 192x \)

\( 792 = 24x^2 + 192x \)

\( 24x^2 + 192x - 792 = 0 \)

\( x^2 + 8x - 33 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 64 + 132 = 196 \)

\( x = \frac{-8 \pm 14}{2} \)

\( x_1 = 3 \), \( x_2 = -11 \) (не подходит по смыслу)

Ответ: 3 м² плитки в день планируют укладывать плиточники.

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к решению задач на работу в рамках ВПР по математике для 8 класса рекомендуется:

• Начинать с простых задач на определение производительности
• Постепенно переходить к более сложным задачам с совместной работой
• Уделять внимание правильному составлению уравнений по условию задачи
• Тренировать навыки решения рациональных уравнений
• Учить учащихся проверять полученные ответы на соответствие условию

Для отработки навыков решения задач на работу вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет генерировать уникальные варианты задач для каждого ученика. Задания, созданные с помощью этого сервиса, аналогичны тем, которые встречаются во Всероссийской проверочной работе.

Также на странице доступны PDF-файлы с заданиями для самостоятельной работы, которые можно использовать на уроках математики для подготовки к ВПР в 8 классе.