Задание 17 ВПР-8: Преобразование выражений с квадратными корнями

Задание 17 во Всероссийской проверочной работе по математике для 8 класса посвящено работе с выражениями, содержащими квадратные корни. Этот тип заданий проверяет умение учащихся преобразовывать иррациональные выражения, применять свойства арифметического квадратного корня и выполнять вычисления с радикалами.

Основные понятия и свойства квадратных корней

Для успешного выполнения заданий с выражениями, содержащими корни, необходимо уверенное владение следующими математическими фактами и формулами:

• Определение арифметического квадратного корня: \( \sqrt{a} = b \), где \( b \geq 0 \) и \( b^2 = a \)
• Свойство произведения корней: \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) при \( a \geq 0 \), \( b \geq 0 \)
• Свойство частного корней: \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) при \( a \geq 0 \), \( b > 0 \)
• Вынесение множителя из-под знака корня: \( \sqrt{a^2 \cdot b} = |a| \cdot \sqrt{b} \)
• Внесение множителя под знак корня: \( a \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \) при \( a \geq 0 \)
• Сложение и вычитание корней: \( m\sqrt{a} \pm n\sqrt{a} = (m \pm n)\sqrt{a} \)
• Формулы сокращенного умножения с корнями: \( (\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a + b \pm 2\sqrt{ab} \)
• Умножение выражений с корнями: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)
• Освобождение от иррациональности в знаменателе: \( \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \), \( \frac{1}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}{a - b} \)

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 17 ВПР по математике для 8 класса важно обратить внимание на следующие аспекты:

1. Систематическое повторение свойств квадратных корней и формул сокращенного умножения
2. Отработка навыков преобразования выражений различной сложности
3. Формирование умения видеть возможность упрощения выражений перед вычислениями
4. Развитие вычислительной культуры и внимательности при работе с радикалами

Для эффективной подготовки учащихся к этому заданию вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет создавать разноуровневые задания по теме "Преобразование выражений с квадратными корнями". Это особенно полезно для организации дифференцированного подхода в обучении.

Типовые задачи и методы их решения

Рассмотрим конкретные примеры заданий, аналогичных тем, которые встречаются в задании 17 ВПР по математике для 8 класса.

Задача 1. Вычисление значения выражения

Найдите значение выражения \( (4\sqrt{10} - 9\sqrt{2})(2\sqrt{10} + 3\sqrt{2}) + 12\sqrt{5} \).

Решение:

В данном выражении мы видим произведение двух скобок, которое напоминает формулу разности квадратов, но не совсем ей является. Умножим выражения в скобках:

\( (4\sqrt{10} - 9\sqrt{2})(2\sqrt{10} + 3\sqrt{2}) = 4\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10} + 4\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{2} - 9\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{10} - 9\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \)

Вычислим каждое слагаемое:

• \( 4\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10} = 8 \cdot 10 = 80 \)
• \( 4\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{20} = 12 \cdot 2\sqrt{5} = 24\sqrt{5} \)
• \( -9\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{10} = -18\sqrt{20} = -18 \cdot 2\sqrt{5} = -36\sqrt{5} \)
• \( -9\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = -27 \cdot 2 = -54 \)

Сложим полученные результаты:

\( 80 + 24\sqrt{5} - 36\sqrt{5} - 54 = (80 - 54) + (24\sqrt{5} - 36\sqrt{5}) = 26 - 12\sqrt{5} \)

Теперь добавим оставшееся слагаемое \( +12\sqrt{5} \):

\( 26 - 12\sqrt{5} + 12\sqrt{5} = 26 \)

Ответ: 26

Задача 2. Упрощение выражения с корнями

Найдите значение выражения \( \sqrt{29 + 8\sqrt{13}} - \sqrt{13} \).

Решение:

В этом задании мы имеем дело с вложенными радикалами. Попробуем представить выражение под первым корнем в виде квадрата суммы:

\( \sqrt{29 + 8\sqrt{13}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \), где \( a + b = 29 \) и \( 2\sqrt{ab} = 8\sqrt{13} \)

Из второго уравнения получаем: \( \sqrt{ab} = 4\sqrt{13} \), значит \( ab = 16 \cdot 13 = 208 \)

Теперь решим систему уравнений:

• \( a + b = 29 \)
• \( ab = 208 \)

Числа 13 и 16 удовлетворяют этой системе, так как \( 13 + 16 = 29 \) и \( 13 \cdot 16 = 208 \).

Следовательно: \( \sqrt{29 + 8\sqrt{13}} = \sqrt{16} + \sqrt{13} = 4 + \sqrt{13} \)

Теперь вычислим всё выражение: \( (4 + \sqrt{13}) - \sqrt{13} = 4 \)

Ответ: 4

Практические материалы для урока

На странице доступны для скачивания задания для самостоятельной работы, составленные в соответствии с форматом ВПР. Эти материалы содержат упражнения на преобразование выражений с квадратными корнями, аналогичные заданию 17 проверочной работы.

Рекомендуется использовать эти задания как для текущего контроля знаний, так и для целенаправленной подготовки к Всероссийской проверочной работе. Упражнения охватывают различные типы преобразований: от простых вычислений до сложных упрощений выражений с использованием формул сокращенного умножения.

Особое внимание при работе с выражениями, содержащими корни, следует уделять обоснованию допустимых значений переменных и проверке полученных результатов. Это способствует формированию у учащихся математической грамотности и развитию логического мышления.