Задание 18 ВПР-8: Окружность в задачах проверочной работы

Задание 18 во Всероссийской проверочной работе по математике для 8 класса часто посвящено геометрическим задачам на тему окружности. Этот раздел геометрии вызывает определенные сложности у учащихся, поэтому требует особого внимания при подготовке. В статье рассмотрены ключевые теоретические положения и практические подходы к решению задач, встречающихся в ВПР.

Основные понятия и свойства окружности

При подготовке учащихся к выполнению задания 18 важно повторить следующие фундаментальные понятия:

• Центр, радиус и диаметр окружности
• Хорда, дуга, секущая и касательная
• Вписанные и центральные углы
• Вписанные и описанные многоугольники
• Взаимное расположение окружностей и прямых

Формулы и теоремы для решения задач

Для успешного выполнения заданий с окружностями в ВПР учащимся необходимо уверенно владеть следующими математическими фактами и формулами:

Связь между дугами и углами

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла: \(◡AB = ∠AOB\), где O — центр окружности.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается: \(∠ABC = \frac{1}{2}◡AC\).

Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме дуг, заключенных между ними: \(∠AMB = \frac{◡AB + ◡CD}{2}\).

Угол между двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен полуразности большей и меньшей дуг, заключенных между ними: \(∠ABC = \frac{◡AC - ◡DE}{2}\).

Свойства касательных и хорд

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \(AE \cdot EB = CE \cdot ED\).

Вписанные и описанные треугольники

Во всякий треугольник можно вписать окружность, причем ее центр находится в точке пересечения биссектрис.

Около всякого треугольника можно описать окружность, причем ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.

Для треугольника со сторонами a, b, c и площадью S радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: \(r = \frac{S}{p}\), где \(p = \frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр.

Радиус описанной окружности находится по формуле: \(R = \frac{abc}{4S}\).

Решение типовых задач из ВПР

Рассмотрим конкретный пример задач, аналогичных тем, которые встречаются в задании 18 Всероссийской проверочной работы.

Задача. Дуги окружности и углы треугольника

На окружности взяты три точки C, N и P так, что \(◡CN:◡NP:◡CP = 7:19:4\).

а) Найдите градусные меры дуг CN, NP, CP;

б) Найдите углы треугольника CNP.

Решение:

а) Пусть \(◡CN = 7x\), \(◡NP = 19x\), \(◡CP = 4x\). Сумма всех дуг, образующих окружность, равна 360°:

\(7x + 19x + 4x = 360°\)

\(30x = 360°\)

\(x = 12°\)

Таким образом:

\(◡CN = 7 \cdot 12° = 84°\)

\(◡NP = 19 \cdot 12° = 228°\)

\(◡CP = 4 \cdot 12° = 48°\)

б) Углы треугольника CNP являются вписанными в окружность, поэтому каждый из них измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

Угол C опирается на дугу NP: \(∠C = \frac{1}{2}◡NP = \frac{228°}{2} = 114°\)

Угол N опирается на дугу CP: \(∠N = \frac{1}{2}◡CP = \frac{48°}{2} = 24°\)

Угол P опирается на дугу CN: \(∠P = \frac{1}{2}◡CN = \frac{84°}{2} = 42°\)

Проверка: \(114° + 24° + 42° = 180°\) — сумма углов треугольника равна 180°, решение верно.

Ответ: а) \(◡CN = 84°\); \(◡NP = 228°\); \(◡CP = 48°\); б) \(∠C = 114°\); \(∠N = 24°\); \(∠P = 42°\).

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 18 ВПР по теме «Окружность» рекомендуется:

• Повторить основные определения и свойства окружности и ее элементов
• Отработать навыки применения теорем о вписанных и центральных углах
• Рассмотреть различные случаи взаимного расположения окружностей и прямых
• Уделить внимание задачам на вычисление радиусов вписанных и описанных окружностей

Для отработки навыков решения задач по теме «Окружность» вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий — сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику. Задания самостоятельной работы, которые предлагаются для скачивания на этой странице, аналогичны тем, которые часто попадаются в ВПР.

Систематическая работа с разнообразными задачами на окружности поможет учащимся успешно справиться с заданием 18 Всероссийской проверочной работы по математике в 8 классе.