Задание 18 ВПР-8: Треугольники — подобие и площадь

Задание 18 во Всероссийской проверочной работе по математике для 8 класса традиционно посвящено геометрическим задачам, преимущественно на тему треугольников. Анализ статистики запросов показывает высокий интерес педагогов к таким разделам, как подобие треугольников и вычисление площади фигур. Эти темы составляют основу геометрической подготовки восьмиклассников и регулярно встречаются в контрольных измерительных материалах.

Ключевые аспекты тем "Подобие треугольников" и "Площадь"

При подготовке учащихся к успешному выполнению задания 18 ВПР по математике для 8 класса следует акцентировать внимание на нескольких фундаментальных разделах, связанных с треугольниками.

Подобие треугольников

Изучение подобия треугольников в 8 классе включает три основных признака:

Первый признак: равенство двух углов одного треугольника соответствующим углам другого
Второй признак: пропорциональность двух сторон и равенство углов между ними
Третий признак: пропорциональность трёх сторон одного треугольника трём сторонам другого

Коэффициент подобия (\(k\)) определяет отношение соответствующих линейных элементов подобных фигур, а отношение их площадей равно \(k^2\). Этот факт особенно важен при решении задач на вычисление площадей.

Площадь треугольника

Для успешного решения задач необходимо уверенное владение основными формулами площади треугольника:

\(S = \frac{1}{2}ah_a\) — через основание и высоту
\(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\) — через две стороны и угол между ними
Формула Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p\) — полупериметр
\(S = pr\), где \(r\) — радиус вписанной окружности
\(S = \frac{abc}{4R}\), где \(R\) — радиус описанной окружности

Методические материалы для учителей

На странице доступны PDF-файлы с заданиями для самостоятельных и контрольных работ, составленные с учётом типовых формулировок ВПР. Эти материалы помогут организовать систематическую подготовку учащихся к проверочной работе. Задания самостоятельной работы аналогичны тем, которые часто попадаются в ВПР.

Для индивидуализации обучения используйте Конструктор индивидуальных заданий — специальный сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме треугольников, их подобия и вычисления площади.

Математические факты и формулы для решения задач на треугольники

При решении геометрических задач в задании 18 ВПР по математике для 8 класса потребуются следующие математические факты и формулы:

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\)
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Свойства биссектрисы: делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
Свойства медианы: делит треугольник на два равновеликих треугольника
Свойства высоты: образует прямоугольные треугольники
Признаки подобия треугольников (три признака)
Формулы площади треугольника (через основание и высоту, через две стороны и угол между ними)
Свойства равнобедренного треугольника: равенство углов при основании, совпадение высоты, медианы и биссектрисы к основанию
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: против большей стороны лежит больший угол
Свойства средней линии треугольника: параллельна основанию и равна его половине

Разбор задач на треугольники

Задача 1

В прямоугольном треугольнике BCX с прямым углом X проведены биссектриса XE и высота XS. Найдите ∠EXS, если ∠XBC = 16°.

Решение:

Поскольку угол X прямой, а ∠XBC = 16°, то ∠BCX = 90° - 16° = 74°.

Биссектриса XE делит угол X (прямой) пополам, поэтому ∠CXE = 45°.

Высота XS, проведённая из прямого угла, образует в треугольнике BCX подобные треугольники. Рассмотрим треугольник XSC: он прямоугольный (так как XS — высота), и ∠XCS = ∠BCX = 74°.

Тогда в треугольнике XSC: ∠XSC = 90° - 74° = 16°.

Теперь рассмотрим угол EXS. Он представляет собой разность между углом CXE и углом CXS:

∠EXS = ∠CXE - ∠CXS = 45° - 16° = 29°.

Ответ: 29°

Задача 2

Дан треугольник AXO, в котором AO = AX, а один из углов равен 120°. Высота AZ этого треугольника равна 55. Найдите высоту, проведённую к боковой стороне.

Решение:

Поскольку AO = AX, треугольник AXO — равнобедренный. Угол 120° может быть только при вершине, так как если бы он был при основании, сумма углов треугольника превысила бы 180°.

Пусть ∠A = 120°, тогда ∠AXO = ∠AOX = (180° - 120°)/2 = 30°.

Высота AZ проведена к основанию XO. В прямоугольном треугольнике AZO катет AZ = 55 лежит против угла 30° (так как ∠AOX = 30°). Следовательно, гипотенуза AO = 2 × 55 = 110.

Теперь найдём высоту, проведённую к боковой стороне. Пусть это высота OH, опущенная из точки O на сторону AX.

Рассмотрим треугольник AOH. В нём ∠OAH = 120° (по условию), OH — искомая высота.

В прямоугольном треугольнике OAH: OH = AO × sin(∠OAH) = 110 × sin(120°) = 110 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 55√3.

Ответ: 55√3